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动态规划算法详解（Java版）

一、什么是动态规划？

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决复杂问题的优化方法，核心思想是将大问题分解为小问题，通过保存中间计算结果避免重复计算，从而提升效率。

就像拼图游戏：先拼好局部小模块，再逐步组合成完整画面。

二、动态规划三大特征

1. 重叠子问题：问题可分解为重复出现的子问题
2. 最优子结构：局部最优解能推导出全局最优解
3. 状态转移方程：不同状态之间的演变关系

三、入门示例：斐波那契数列

问题描述：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)

// 递归解法（低效，存在大量重复计算）
int fib(int n) {
    if(n <= 1) return n;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

// 动态规划解法（时间复杂度O(n)）
int fibDP(int n) {
    if(n <= 1) return n;
    int[] dp = new int[n+1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

四、经典问题：爬楼梯

问题描述：每次可以爬1或2个台阶，到达n阶有多少种方法？

状态转移方程：
dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]

int climbStairs(int n) {
    if(n <= 2) return n;
    int[] dp = new int[n+1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i=3; i<=n; i++){
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

五、进阶示例：零钱兑换

问题描述：给定不同面额的硬币和总金额，求凑成总金额所需的最少硬币数

示例：coins = [1, 2, 5], amount = 11 → 3（5+5+1）

int coinChange(int[] coins, int amount) {
    int[] dp = new int[amount+1];
    Arrays.fill(dp, amount+1);
    dp[0] = 0;
    
    for(int i=1; i<=amount; i++){
        for(int coin : coins){
            if(coin <= i){
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

六、动态规划解题四步法

1. 定义状态：确定dp数组的含义
2. 建立状态转移方程：找出不同状态间的关系
3. 初始化边界条件：设置初始值
4. 确定计算顺序：通常自底向上计算

七、二维DP示例：最长公共子序列

问题描述：求两个字符串的最长公共子序列长度

int lcs(String text1, String text2) {
    int m = text1.length(), n = text2.length();
    int[][] dp = new int[m+1][n+1];
    
    for(int i=1; i<=m; i++){
        for(int j=1; j<=n; j++){
            if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            }else{
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

八、动态规划优化技巧

1. 空间优化：滚动数组（如斐波那契数列只需保存前两个值）
2. 状态压缩：使用位运算等技巧减少存储空间
3. 记忆化搜索：自顶向下递归+备忘录的混合解法

九、适用场景总结

1. 最值问题（最大值/最小值）
2. 计数问题（多少种方法）
3. 存在性问题（是否可达）
4. 序列问题（子序列/子数组）

十、常见错误提醒

1. 数组越界：注意dp数组索引边界
2. 初始条件错误：比如台阶问题中dp[0]的处理
3. 状态转移方程错误：需要仔细推导验证
4. 空间复杂度过高：合理优化存储结构

通过以上由浅入深的讲解，配合Java代码示例，相信您已经对动态规划有了系统的理解。建议从简单题目开始实践，逐步掌握状态定义和转移方程的建立技巧。