647.回文子串

思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义：

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2.递推公式：

• if (s[i]!=s[j])

  • dp[i][j] =False ;

• if (s[i]== s[j])

  • i==j，同一个字符例如a，当然是回文子串
  • abs(i-j)=1,例如aa，也是回文子串
  • abs(i-j)>1，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3.初始化：dp[i][j]初始化为false

4.确定遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

!5.举例推导dp数组

举例，输入：“aaa”，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。](https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210121171032473-20230310132134822.jpg)

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        size = len(s)
        if size <= 1:
            return size

        dp =[[False]*size for _ in range(size)]
        result = 0
        for i in range(size+1,-1,-1):
            for j in range(i,size):
                if s[i] == s[j]:
                    if (j-i) <= 1:
                        dp[i][j] = True
                        result += 1
                    elif(dp[i+1][j-1]):
                        dp[i][j] = True
                        result += 1
        return result

516.最长回文子序列

思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2.确定递推公式

• if(s[i]==s[j])，dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
• if(s[i]!=s[j]),dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
  • 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
  • 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

3.初始化：当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

4.确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1],dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的

5.举例推导dp数组

输入s:“cbbd” 为例，dp数组状态如图：红色框即：dp[0][-1]为最终结果。

class Solution:
    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        size = len(s)
        if size <= 1:
            return size

        dp = [[0]*size for _ in range(size)]

        for i in range(size):
            dp[i][i] = 1
        
        for i in range(size-1,-1,-1):
            for j in range(i+1, size):
                if (s[i]==s[j]):
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
        return dp[0][-1]

动态规划总结

动规五部曲分别为：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组