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🔥 内容介绍

无人机（Unmanned Aerial Vehicle，UAV）作为一种重要的智能化工具，已被广泛应用于测绘、农业、安防、物流等多个领域。姿态估计是无人机自主控制和导航的基础，精确的姿态信息能够为无人机规划路径、执行任务以及保证飞行安全提供可靠保障。无人机姿态估计的关键在于融合来自不同传感器的信息，以克服单个传感器固有的缺陷和局限性。本文将重点探讨基于扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit，IMU）和全球定位系统（Global Positioning System，GPS）数据，从而实现无人机高精度姿态估计的方法。

引言

IMU能够提供角速度和加速度等高频率测量数据，这些数据可以用于估计无人机的姿态角速度和加速度。然而，IMU固有的零偏漂移和噪声会导致积分误差的累积，使得长时间运行后姿态估计精度下降。GPS能够提供无人机的位置和速度信息，具有长期稳定性，但其更新频率较低且易受外界环境干扰，例如遮挡、多径效应等。因此，单独使用IMU或GPS数据难以获得稳定可靠的姿态估计结果。

卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）是一种有效融合不同传感器数据的方法，它通过递归的方式，利用系统模型和测量模型，对系统的状态进行最优估计。然而，卡尔曼滤波器只能应用于线性系统。由于无人机的运动模型通常是非线性的，例如姿态的表示方式（四元数、欧拉角）与角速度之间存在非线性关系，因此需要采用扩展卡尔曼滤波器（EKF）。EKF通过对非线性函数进行泰勒展开线性化处理，将非线性系统近似为线性系统，从而应用卡尔曼滤波的思想进行状态估计。

系统模型与测量模型

基于EKF的无人机姿态估计需要建立系统的状态空间模型，包括状态方程和测量方程。

状态方程：

状态方程描述了系统状态随时间的变化规律。本文选择四元数q作为表示无人机姿态的参数。四元数具有避免欧拉角奇异性（万向节锁）的优点。定义状态向量为：

x = [q_w, q_x, q_y, q_z, b_wx, b_wy, b_wz, b_ax, b_ay, b_az]^T

其中，q_w, q_x, q_y, q_z为四元数的四个分量，b_wx, b_wy, b_wz为陀螺仪的零偏，b_ax, b_ay, b_az为加速度计的零偏。

四元数的时间导数与角速度之间的关系可以表示为：

q̇ = 1/2 * Ω(ω) * q

其中，q̇为四元数的时间导数，ω = [ω_x, ω_y, ω_z]^T为无人机在机体坐标系下的角速度，Ω(ω)定义为：

Ω(ω) = [0 -ω_x -ω_y -ω_z; ω_x 0 ω_z -ω_y; ω_y -ω_z 0 ω_x; ω_z ω_y -ω_x 0]

考虑陀螺仪和加速度计的零偏，真实的角速度和加速度可以表示为：

ω = ω_m - b_w + η_ω
a = a_m - b_a + η_a

其中，ω_m和a_m分别为陀螺仪和加速度计的测量值，b_w和b_a分别为陀螺仪和加速度计的零偏，η_ω和η_a分别为陀螺仪和加速度计的噪声。

陀螺仪和加速度计的零偏通常被建模为随机游走过程：

ḃ_w = η_bw
ḃ_a = η_ba

其中，η_bw和η_ba分别为陀螺仪和加速度计零偏的噪声。

将以上公式离散化，可以得到状态方程：

x_(k+1) = f(x_k, u_k) + w_k

其中，x_k和x_(k+1)分别为k时刻和k+1时刻的状态向量，u_k为输入向量，包括陀螺仪和加速度计的测量值，w_k为过程噪声。f(x_k, u_k)为非线性状态转移函数。

测量方程：

测量方程描述了测量值与系统状态之间的关系。本文使用GPS提供的位置信息作为测量值。将无人机在世界坐标系下的位置表示为p = [p_x, p_y, p_z]^T。

测量方程可以表示为：

z_k = h(x_k) + v_k

其中，z_k为k时刻的测量向量，包括GPS的位置信息，h(x_k)为非线性测量函数，用于将状态向量映射到测量空间，v_k为测量噪声。

函数h(x_k)需要将无人机在机体坐标系下的加速度转换为世界坐标系下的加速度，然后进行积分得到位置信息。由于GPS直接提供位置信息，因此测量方程可以简化为：

z_k = p_GPS = p(x_k) + v_k

其中，p_GPS为GPS测量的位置，p(x_k)为通过状态向量x_k推导出的无人机位置。推导过程涉及到四元数表示的旋转矩阵，将机体坐标系下的加速度转换到世界坐标系下。

扩展卡尔曼滤波器实现

EKF算法主要包括两个步骤：预测和更新。

预测：

• 状态预测： 利用上一时刻的最优状态估计值和状态方程，预测当前时刻的状态。

  x̂_(k+1|k) = f(x̂_(k|k), u_k)

  其中，x̂_(k|k)为k时刻的最优状态估计值，x̂_(k+1|k)为k+1时刻的状态预测值。

• 协方差预测： 利用上一时刻的协方差矩阵和状态方程的雅可比矩阵，预测当前时刻的协方差矩阵。

  P_(k+1|k) = A_k * P_(k|k) * A_k^T + Q_k

  其中，P_(k|k)为k时刻的协方差矩阵，P_(k+1|k)为k+1时刻的协方差预测矩阵，A_k为状态方程的雅可比矩阵，Q_k为过程噪声的协方差矩阵。

  雅可比矩阵A_k的计算需要对非线性状态转移函数f(x_k, u_k)进行求导，这通常是EKF实现中最复杂的部分。

更新：

• 卡尔曼增益计算： 利用测量方程的雅可比矩阵、测量噪声的协方差矩阵和协方差预测矩阵，计算卡尔曼增益。

  K_k = P_(k+1|k) * H_(k+1)^T * (H_(k+1) * P_(k+1|k) * H_(k+1)^T + R_(k+1))^-1

  其中，K_k为卡尔曼增益，H_(k+1)为测量方程的雅可比矩阵，R_(k+1)为测量噪声的协方差矩阵。

  雅可比矩阵H_(k+1)的计算需要对非线性测量函数h(x_k)进行求导。

• 状态更新： 利用卡尔曼增益、测量值和状态预测值，更新状态估计值。

  x̂_(k+1|k+1) = x̂_(k+1|k) + K_k * (z_(k+1) - h(x̂_(k+1|k)))

  其中，x̂_(k+1|k+1)为k+1时刻的最优状态估计值。

• 协方差更新： 利用卡尔曼增益和协方差预测矩阵，更新协方差矩阵。

  P_(k+1|k+1) = (I - K_k * H_(k+1)) * P_(k+1|k)

  其中，P_(k+1|k+1)为k+1时刻的协方差矩阵，I为单位矩阵。

算法实现步骤：

1. 初始化： 初始化状态向量、协方差矩阵、过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵。

2. 循环： 对于每一个时间步，执行以下操作：

   • 预测： 利用状态方程和上一时刻的最优状态估计值，预测当前时刻的状态和协方差。

   • 更新： 利用测量方程、当前时刻的测量值和状态预测值，计算卡尔曼增益，并更新状态估计值和协方差。

3. 输出： 输出当前时刻的最优状态估计值，包括四元数、陀螺仪零偏和加速度计零偏。

算法的优点和缺点

优点：

• 能够有效地融合IMU和GPS数据，提高姿态估计的精度和鲁棒性。

• EKF是一种成熟的滤波算法，具有良好的实时性和稳定性。

• 能够估计陀螺仪和加速度计的零偏，减少误差的累积。

缺点：

• 需要对非线性函数进行线性化处理，近似误差可能会影响估计精度。

• 雅可比矩阵的计算比较复杂，计算量较大。

• 对初始状态和噪声参数的敏感性较高，需要进行合理的参数调整。

• EKF本质上只利用了一阶泰勒展开，如果非线性程度较高，估计精度会显著下降。

改进方向

为了克服EKF的缺点，可以考虑以下改进方向：

• 使用其他滤波算法： 采用无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter，UKF）或粒子滤波器（Particle Filter，PF）等非线性滤波算法，这些算法不需要进行线性化处理，能够更好地处理非线性问题。

• 使用更精确的传感器模型： 对IMU和GPS的噪声进行更精确的建模，例如考虑噪声的时变性或相关性，可以提高估计精度。

• 融合更多传感器数据： 除了IMU和GPS，还可以融合其他传感器数据，例如磁力计、气压计、视觉传感器等，以提高姿态估计的精度和鲁棒性。

• 采用优化方法： 将姿态估计问题转化为优化问题，利用优化算法求解最优的姿态信息。例如，可以使用滑动窗口优化（Sliding Window Optimization）或捆绑调整（Bundle Adjustment）等方法。

结论

基于扩展卡尔曼滤波器融合IMU和GPS数据是一种有效的无人机姿态估计方法。通过建立合适的系统模型和测量模型，并进行合理的参数调整，可以获得高精度的姿态估计结果。然而，EKF算法也存在一些缺点，需要根据具体的应用场景选择合适的滤波算法或进行改进。随着传感器技术和计算能力的不断发展，更先进的姿态估计方法将不断涌现，为无人机的自主控制和导航提供更加可靠的保障。

📣 部分代码

​        end                function prediction(obj, u)            g = [0; 0; 9.81];            dt = 1 / 10;            R_k = obj.mu(1:3, 1:3);            v_k = obj.mu(1:3, 4);            p_k = obj.mu(1:3, 5);            a_k = u(1:3);            omega_k = u(4:6);​            R_pred = R_k * expm(skew(omega_k * dt));​            v_pred = v_k + (R_k * Gamma_1(omega_k * dt) * a_k' + g) *dt;            p_pred = p_k +  v_k * dt + 0.5 * (2 * R_k *  Gamma_2(omega_k * dt) * a_k' + g) * dt ^2;                        H_pred = [R_pred, v_pred, p_pred;                        zeros(1,3), 1, 0;                        zeros(1,3), 0, 1];                                   obj.propagation(H_pred, a_k, omega_k);        end​        function propagation(obj, H_pred, a_k, omega_k)            dt = 1 / 10;            obj.mu_pred = H_pred;​            % log linear            A = zeros(9);             A(1:3, 1:3) = - skew(omega_k);            A(4:6, 1:3) = - skew(a_k);            A(4:6, 4:6) = - skew(omega_k);            A(7:9, 4:6) = eye(3);            A(7:9, 7:9) = -skew(omega_k); ​            phi = expm(A * dt);            obj.Sigma_pred = obj.Sigma + phi * eye(9) * phi';        end                function correction(obj, gps_measurement)            b = [0; 0; 0; 0; 1];            H = [zeros(3), zeros(3), eye(3)];​            % N just a covariance, so instead of doing the covariance stuff, just a 3 by 3            N = eye(3).*0.5;                         Y = [gps_measurement'; 0; 1];            nu = obj.mu_pred  Y - b;             S = H * obj.Sigma_pred * H' + N;            K = obj.Sigma_pred * H' * (S  eye(size(S)));                        % calculate zai            zai = K * nu(1:3);            zai_hat = zeros(5);            phi = zai(1:3);             rho1 = zai(4:6);            rho2 = zai(7:9);            jacobian_phi = eye(3);            theta = norm(phi);            jacobian_phi = jacobian_phi + (1 - cos(theta)) / theta^2 * skew(phi) ...                + (theta - sin(theta)) / theta^3 * (skew(phi)^2);            zai_hat(1:3, 1:3) = expm(skew(phi));            zai_hat(1:3, 4) = jacobian_phi * rho1;            zai_hat(1:3, 5) = jacobian_phi * rho2;            zai_hat(4:5, 4:5) = eye(2);​            obj.mu = obj.mu_pred * zai_hat;​            obj.Sigma = (eye(9) - K * H) * obj.Sigma_pred * (eye(9) - K * H)' + K * N * K';        end    endend

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